Usando a regra da cadeia, calcule .
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. A matéria que estamos usando aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar das expressões de em termos de e , e das funções que definem e em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como que depende de e , que por sua vez dependem de , a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a gente vai calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois multiplicar por e , respectivamente.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais de em relação a e .
Dado que:
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos descobrir as derivadas de e em relação a .
Dado que:
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo usando a regra da cadeia.
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja . No ponto , na direção de qual vetor
(b) diminui mais rapidamente.
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)
Calcule o fluxo de fluido que passa através de uma seção transversal circular do gasoduto localizada no plano .