Usando a regra da cadeia, calcule
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. A matéria que estamos usando aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar das expressões de
em termos de
e
, e das funções que definem
e
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como
que depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a gente vai calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois multiplicar por
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Dado que:
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos descobrir as derivadas de
e
em relação a
.
Dado que:
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo usando a regra da cadeia.
Substituindo as derivadas que encontramos:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Seja
. No ponto
, na direção de qual vetor
(b) diminui mais rapidamente.
(b)
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(f)
(f)
Calcule o fluxo de fluido que passa através de uma seção transversal circular do gasoduto localizada no plano
.