Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e algumas propriedades de logaritmos. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta aqui. Temos , onde . A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .
Matematicamente, isso fica:
Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Lembrando que , derivamos termo a termo:

Passo 4

Substituindo e na expressão da derivada, temos:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador:
No numerador:
No denominador:
Então, a derivada fica:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais cancelando um do numerador com o denominador:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Derive a função