Usando a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld mostre que a energia de um oscilador harmônico simples unidimensional é dada por
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos usar a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld para mostrar que a energia de um oscilador harmônico simples unidimensional é dada por
. Aqui,
é um número inteiro,
é a constante de Planck e
é a frequência do oscilador. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a quantização de ação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld. Esta regra afirma que a integral da quantidade de movimento
sobre um ciclo completo de movimento é igual a um múltiplo inteiro de
:
onde:
-
é o momento, -
é a coordenada generalizada, -
é um número inteiro.
Passo 3
Para um oscilador harmônico simples, a relação entre o momentum
e a coordenada
é dada por:
onde
é a massa do oscilador. A energia total do oscilador é a soma da energia cinética e potencial:
com
sendo a frequência angular.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld ao oscilador. A integral no ciclo completo será:
Sabemos que para um oscilador harmônico, o espaço percorrido no ciclo é um movimento oscilatório, e a área no espaço de fase
vs
é uma elipse.
Passo 5
A área da elipse no espaço de fase é dada por:
onde
e
são as amplitudes dos momentos e das coordenadas, respectivamente. Para o oscilador harmônico, essa área é proporcional à energia
.
Passo 6
De acordo com a regra de Wilson-Sommerfeld:
Resolvendo para
:
pois
.
Resposta
A energia do oscilador harmônico simples unidimensional é dada por
.