Usando a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld mostre que a energia de um oscilador harmônico simples unidimensional é dada por
E=n h v

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos usar a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld para mostrar que a energia de um oscilador harmônico simples unidimensional é dada por E = n h v. Aqui, n é um número inteiro, h é a constante de Planck e v é a frequência do oscilador. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a quantização de ação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld. Esta regra afirma que a integral da quantidade de movimento p sobre um ciclo completo de movimento é igual a um múltiplo inteiro de h:
oint p , dq = n h
onde:
  • p é o momento,
  • q é a coordenada generalizada,
  • n é um número inteiro.

Passo 3

Para um oscilador harmônico simples, a relação entre o momentum p e a coordenada q é dada por:
p = m dqdt
onde m é a massa do oscilador. A energia total do oscilador é a soma da energia cinética e potencial:
E = p^22m + 12 m omega^2 q^2
com omega = 2pi v sendo a frequência angular.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de quantização de Wilson-Sommerfeld ao oscilador. A integral no ciclo completo será:
oint p , dq = oint m dqdt , dq = m oint v , dq
Sabemos que para um oscilador harmônico, o espaço percorrido no ciclo é um movimento oscilatório, e a área no espaço de fase p vs q é uma elipse.

Passo 5

A área da elipse no espaço de fase é dada por:
Área = pi Ap Aq Á
onde Ap e Aq são as amplitudes dos momentos e das coordenadas, respectivamente. Para o oscilador harmônico, essa área é proporcional à energia E.

Passo 6

De acordo com a regra de Wilson-Sommerfeld:
oint p , dq = 2 pi E / omega = n h
Resolvendo para E:
E = n h omega2 pi = n h v
pois omega = 2pi v.

Resposta

A energia do oscilador harmônico simples unidimensional é dada por E = n h v.

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