Usando as relações e
integral0^infty P(mathscrE) d mathscrE=1, faça o cálculo da integral
e obtenha varepsilon=k T.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral que envolve a função de probabilidade em relação à energia , e essa integral de 0 até o infinito é igual a 1. Isso significa que estamos lidando com uma distribuição de probabilidade normalizada. O objetivo é calcular essa integral e mostrar que a energia média é igual a , onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a normalização de probabilidades e o conceito de energia média em estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral da função de probabilidade integral0^infty P(mathscrE) , dmathscrE = 1 sobre todas as possíveis energias deve ser igual a 1. Isso é necessário para que seja uma distribuição de probabilidade válida. Ou seja:
Isso garante que a soma de todas as probabilidades possíveis seja 100%.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia média varepsilon = integral0^infty mathscrE , P(mathscrE) , dmathscrE , usamos a definição de valor esperado em probabilidade. A energia média é calculada multiplicando cada valor de energia pela sua probabilidade e integrando sobre todas as energias possíveis:
Isso nos dá o valor médio que esperamos para a energia no sistema.

Passo 4

Para avançar, precisamos especificar a forma de P(mathscrE) = 1Z e^-mathscrE/(kT) . Em muitos casos físicos, especialmente na mecânica estatística, a distribuição de probabilidade para a energia segue a distribuição de Boltzmann:
Aqui, é a função de partição que normaliza a distribuição.

Passo 5

Substituindo varepsilon = integral0^infty mathscrE ( 1Z e^-mathscrE/(kT) ) dmathscrE na integral da energia média, temos:
varepsilon = 1Z integral0^infty mathscrE , e^-mathscrE/(kT) , dmathscrE
Podemos tirar para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^infty mathscrE , e^-mathscrE/(kT) , dmathscrE
Fazendo uma substituição (kT)^2 integral0^infty x e^-x , dx , então e . A integral se torna:
Sabemos que (é a integral da distribuição gama com parâmetros apropriados).

Passo 7

Portanto, a integral original resulta em Z = integral0^infty e^-mathscrE/(kT) , dmathscrE = kT integral0^infty e^-x , dx = kT . Agora, precisamos encontrar a função de partição :
Isso porque .

Passo 8

Voltando à expressão da energia média:
varepsilon = (kT)^2kT = kT
Assim, mostramos que a energia média é igual a .

Resposta

A energia média é igual a .

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