Usando as relações e
, faça o cálculo da integral
e obtenha
.
e obtenha
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral que envolve a função de probabilidade
em relação à energia
, e essa integral de 0 até o infinito é igual a 1. Isso significa que estamos lidando com uma distribuição de probabilidade normalizada. O objetivo é calcular essa integral e mostrar que a energia média
é igual a
, onde
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a normalização de probabilidades e o conceito de energia média em estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral da função de probabilidade
sobre todas as possíveis energias deve ser igual a 1. Isso é necessário para que
seja uma distribuição de probabilidade válida. Ou seja:
Isso garante que a soma de todas as probabilidades possíveis seja 100%.
Passo 3
Agora, para encontrar a energia média
, usamos a definição de valor esperado em probabilidade. A energia média é calculada multiplicando cada valor de energia
pela sua probabilidade
e integrando sobre todas as energias possíveis:
Isso nos dá o valor médio que esperamos para a energia no sistema.
Passo 4
Para avançar, precisamos especificar a forma de
. Em muitos casos físicos, especialmente na mecânica estatística, a distribuição de probabilidade para a energia segue a distribuição de Boltzmann:
Aqui,
é a função de partição que normaliza a distribuição.
Passo 5
Substituindo
na integral da energia média, temos:
Podemos tirar
para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição
, então
e
. A integral se torna:
Sabemos que
(é a integral da distribuição gama com parâmetros apropriados).
Passo 7
Portanto, a integral original resulta em
. Agora, precisamos encontrar a função de partição
:
Isso porque
.
Passo 8
Voltando à expressão da energia média:
Assim, mostramos que a energia média
é igual a
.
Resposta
A energia média
é igual a
.
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