Usando as relações e
, faça o cálculo da integral
e obtenha .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral que envolve a função de probabilidade em relação à energia , e essa integral de 0 até o infinito é igual a 1. Isso significa que estamos lidando com uma distribuição de probabilidade normalizada. O objetivo é calcular essa integral e mostrar que a energia média é igual a , onde é a constante de Boltzmann e é a temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a normalização de probabilidades e o conceito de energia média em estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral da função de probabilidade sobre todas as possíveis energias deve ser igual a 1. Isso é necessário para que seja uma distribuição de probabilidade válida. Ou seja:
Isso garante que a soma de todas as probabilidades possíveis seja 100%.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia média , usamos a definição de valor esperado em probabilidade. A energia média é calculada multiplicando cada valor de energia pela sua probabilidade e integrando sobre todas as energias possíveis:
Isso nos dá o valor médio que esperamos para a energia no sistema.

Passo 4

Para avançar, precisamos especificar a forma de . Em muitos casos físicos, especialmente na mecânica estatística, a distribuição de probabilidade para a energia segue a distribuição de Boltzmann:
Aqui, é a função de partição que normaliza a distribuição.

Passo 5

Substituindo na integral da energia média, temos:
Podemos tirar para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição , então e . A integral se torna:
Sabemos que (é a integral da distribuição gama com parâmetros apropriados).

Passo 7

Portanto, a integral original resulta em . Agora, precisamos encontrar a função de partição :
Isso porque .

Passo 8

Voltando à expressão da energia média:
Assim, mostramos que a energia média é igual a .

Resposta

A energia média é igual a .

Exercícios relacionados

Sobre duas lâminas polarizadoras, colocadas uma acima da outra, incide luz não polarizada. Qual deve ser o ângulo entre os eixos de polarização das duas lâminas para que a intensidade da luz transmitida seja:
Um tercio da intensidade máxima do feixe transmitido.
Suponha que as lâminas polarizadoras são ideias, ou seja, a intensidade da luz não polarizada é reduzida em ao ficar linearmente polarizada depois de passar pelo primeiro polarizador.
Se o mesmo sistema é agora iluminado com um laser de He-Ne com , qual é a separação entre dois máximos de interferência se os mesmos são observados em uma tela colocada a 10 cm das perfurações?
Duas fontes coerentes e emitem ondas eletromagnéticas com comprimento de onda de 2 cm . Um ponto está localizado a uma distância 4.86 m de , e a 5.24 m de .
Qual é a diferença de fase das duas ondas no ponto ?
Determine o domínio da função .