Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral0^1 / 2 arcsen xraiz1-x^2 d x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição para integrais. Para resolver, vamos precisar entender como utilizar a substituição adequada e aplicar as regras de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos e u = arcsen, x na expressão. Vamos fazer a seguinte substituição:
Ao definir , precisamos calcular a derivada de dudx = 1raiz1 - x^2 em relação a du = 1raiz1 - x^2 , dx para encontrar :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Observamos que pode ser expressa em termos de integral arcsen, xraiz1 - x^2 , dx = integral u , du e :

Passo 4

Com a integral simplificada para integral u , du = u^22 + C , podemos integrá-la facilmente. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante.

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original u = arcsen, 0 = 0 e calcular os limites de integração. Como fizemos a substituição , os novos limites serão:
Para u = arcsen, (12) = pi6 :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites à antiderivada que encontramos:
u^22 |0^pi6 = (pi6)^22 - 0^22 = pi^272

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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