Usando substituição, calcule as integrais abaixo: .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição para integrais. Para resolver, vamos precisar entender como utilizar a substituição adequada e aplicar as regras de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo. Observamos que temos e na expressão. Vamos fazer a seguinte substituição:
Ao definir , precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando essa substituição. Observamos que pode ser expressa em termos de e :
Passo 4
Com a integral simplificada para , podemos integrá-la facilmente. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante.
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original e calcular os limites de integração. Como fizemos a substituição , os novos limites serão:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, aplicamos os limites à antiderivada que encontramos: