Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integrale^e^2 1x ln x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até . Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição, uma técnica que facilita a resolução de integrais mais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a função u = ln x , percebemos que o denominador contém , que é uma função que pode ser substituída.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 1x em relação a du = 1x dx para substituir dx = x , du . Derivando ambos os lados:
Então, podemos rearranjar para:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir integrale^e^2 1x ln x dx = integralu1^u2 1x u cdot x , du e na integral original:
Aqui, e são os novos limites de integração após a substituição.

Passo 5

Simplificando a expressão na integral:
integralu1^u2 1x u cdot x , du = integralu1^u2 1u du

Passo 6

Agora, vamos determinar os novos limites de integração. Quando u1 = ln e = 1 :
u2 = ln e^2 = 2
E quando integral1^2 1u du :
Então, nossa integral fica:

Passo 7

A integral de integral1^2 1u du = [ ln u ]1^2 = ln 2 - ln 1 em relação a é . Então, vamos calcular:

Passo 8

Sabemos que ln 2 - 0 = ln 2 , então:

Resposta

A integral é igual a .

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