Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
até
. Aqui, estamos trabalhando com integração por substituição, uma técnica que facilita a resolução de integrais mais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável, simplificando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observando a função
, percebemos que o denominador contém
, que é uma função que pode ser substituída.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados:
Então, podemos rearranjar para:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Aqui,
e
são os novos limites de integração após a substituição.
Passo 5
Simplificando a expressão na integral:
Passo 6
Agora, vamos determinar os novos limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
A integral de
em relação a
é
. Então, vamos calcular:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
.
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é uma constante.