Usando substituição, calcule as integrais abaixo:
integral raizx(1+x^3 / 2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral usando o método de substituição. Isso envolve entender como escolher uma parte da expressão para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que dentro do parêntese temos e, multiplicando isso por , fica , que simplifica para . Mas para usar a substituição, vamos focar em .

Passo 3

Com a substituição du = ddx(1 + x^3/2) dx = 32x^1/2 dx , precisamos encontrar a derivada de x^1/2 dx = 23 du em relação a para expressar em termos de . Calculando:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, substituímos integral raizx(1 + x^3/2) dx = integral raizx cdot u cdot dx = integral u cdot 23 du = 23 integral u , du e na integral original:

Passo 5

Integrando em relação a 23 integral u , du = 23 cdot u^22 + C = 13u^2 + C :

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 13(1 + x^3/2)^2 + C :

Resposta

A integral é igual a .

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