Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: integral 1raiza^2+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a usando substituição trigonométrica. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição trigonométrica quando temos uma expressão do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Quando temos , uma boa substituição é . Isso porque, usando essa substituição, a expressão dentro da raiz simplifica de forma que facilita a integração.

Passo 3

Vamos definir:
x = a tan(theta)
Agora, calculamos a derivada de dx = a sec^2(theta) dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo integral 1raiza^2 + x^2 dx = integral 1raiza^2 + a^2 tan^2(theta) cdot a sec^2(theta) dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiza^2 + a^2 tan^2(theta) = a raiz1 + tan^2(theta) = a sec(theta)
Então, a integral fica:
integral 1a sec(theta) cdot a sec^2(theta) dtheta = integral sec(theta) dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar integral sec(theta) dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C . A integral de é:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Precisamos voltar para a variável original tan(theta) = xa . Sabemos que:
sec(theta) = raiz1 + tan^2(theta) = raiz1 + (xa)^2 = raiza^2 + x^2a
ln|raiza^2 + x^2a + xa| + C = ln|raiza^2 + x^2 + xa| + C
Substituindo esses valores na expressão da integral:

Passo 8

Podemos simplificar a expressão eliminando ln(raiza^2 + x^2 + x) + C , já que ela pode ser incorporada na constante :

Resposta

A integral ln(x + raiza^2 + x^2) + C é igual a:

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