Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo: integral raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar substituição trigonométrica, que é um método bacana para integrar expressões que têm raízes quadradas envolvendo polinômios do segundo grau. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como elas podem facilitar a nossa vida na hora de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar x = sin theta Rightarrow dx = cos theta , dtheta . Por quê? Porque sabemos que raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2 theta = raizcos^2 theta = cos theta , o que vai tirar a raiz quadrada de forma mais fácil. Então, substituindo:
E a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral raiz1 - x^2 , dx = integral cos theta cdot cos theta , dtheta = integral cos^2 theta , dtheta

Passo 4

A gente lembra que cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
integral cos^2 theta , dtheta = integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos 2theta , dtheta = 12 theta + 14 sin 2theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, precisamos voltar para a variável original 12 arcsin x + 14 cdot 2x raiz1 - x^2 + C = 12 arcsin x + 12 x raiz1 - x^2 + C . Sabemos que , então . Além disso, . Substituindo tudo:

Resposta

integral raiz1 - x^2 , dx = 12 arcsin x + 12 x raiz1 - x^2 + C

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