Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar substituição trigonométrica, que é um método bacana para integrar expressões que têm raízes quadradas envolvendo polinômios do segundo grau. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como elas podem facilitar a nossa vida na hora de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar
. Por quê? Porque sabemos que
, o que vai tirar a raiz quadrada de forma mais fácil. Então, substituindo:
E a expressão dentro da raiz fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Passo 4
A gente lembra que
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então
. Além disso,
. Substituindo tudo:
Resposta
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