Usando a substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar substituição trigonométrica, que é um método bacana para integrar expressões que têm raízes quadradas envolvendo polinômios do segundo grau. Para isso, vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como elas podem facilitar a nossa vida na hora de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Por quê? Porque sabemos que , o que vai tirar a raiz quadrada de forma mais fácil. Então, substituindo:
E a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, vamos substituir tudo na integral original:

Passo 4

A gente lembra que pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que , então . Além disso, . Substituindo tudo:

Resposta

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