Verifique se os conjuntos de números complexos, caracterizados pelas se são abertos ou fechados, conexos ou não conexos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar um conjunto de números complexos definidos pelas condições e . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto é aberto ou fechado, e se é conexo ou não conexo. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa e topologia básica. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada condição significa:
  1. : Isso quer dizer que a parte imaginária de (ou seja, ) tem módulo maior que 1. Geometricamente, no plano complexo, isso representa duas regiões: uma acima da linha imaginária e outra abaixo de .
  2. : Isso representa todos os números complexos cuja distância da origem é menor que 5. Geometricamente, é o interior de um círculo com raio 5 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos visualizar o conjunto definido por essas duas condições juntas:
  • Interseção das condições: Queremos os números complexos que satisfazem ambas as condições ao mesmo tempo. Ou seja, estão dentro do círculo de raio 5 e estão acima de ou abaixo de .
Isso resulta em duas “fatias” no interior do círculo: uma acima de e outra abaixo de .

Passo 4

Vamos determinar se o conjunto é aberto ou fechado.
  • Conjunto aberto: Um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, existe uma pequena vizinhança em torno desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto.
  • Conjunto fechado: Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite.
Analisando as desigualdades:
  • é uma condição que não inclui os pontos onde ou . Isso significa que não inclui a “fronteira” dessas regiões.
  • também não inclui a fronteira do círculo, já que é uma desigualdade estrita.
Como ambos são estritos e não incluem as fronteiras, o conjunto resultante é aberto.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o conjunto é conexo ou não conexo.
  • Conjunto conexo: Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em dois subconjuntos abertos não vazios que não têm pontos em comum.
Analisando nosso conjunto: ele consiste em duas regiões separadas dentro do círculo de raio 5 — uma acima de e outra abaixo de . Essas duas “fatias” não estão conectadas entre si, ou seja, não há um caminho contínuo dentro do conjunto que liga um ponto da primeira fatia a um ponto da segunda.
Portanto, o conjunto é não conexo.

Resposta

O conjunto de números complexos definido por e é aberto e não conexo.

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