Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste de Cauchy para verificar se a série abaixo converge ou diverge:
Vamos precisar entender o que é o Teste de Cauchy e como aplicá-lo a essa série para descobrir se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, o Teste de Cauchy que vamos usar aqui é o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o comportamento das raízes dos termos da série.
A fórmula do Teste da Raiz é:
Onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que para grandes valores de an approx n^4nraizn^10n, raizn^10n = n^5n domina em an approx n^4nn^5n = n^-n = ( 1n )^n, e domina em .
Então, podemos aproximar:
Simplificando a raiz:
Então:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Raiz na expressão simplificada:
L = limn to infty raiz[n]( 1n )^n = limn to infty 1n = 0
Passo 6
Interpretando o resultado: Como e , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty n^4n - nraizn^10n + 1converge pelo Teste de Cauchy.