Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d) sumn=1^infty n^4 n-nraizn^10 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teste de Cauchy para verificar se a série abaixo converge ou diverge:
sumn=1^infty n^4n - nraizn^10n + 1
Vamos precisar entender o que é o Teste de Cauchy e como aplicá-lo a essa série para descobrir se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, o Teste de Cauchy que vamos usar aqui é o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o comportamento das raízes dos termos da série.
A fórmula do Teste da Raiz é:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = n^4n - nraizn^10n + 1 da nossa série:
L = limn to infty raiz[n]| n^4n - nraizn^10n + 1 |
Agora, aplicamos o Teste da Raiz:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que para grandes valores de an approx n^4nraizn^10n, raizn^10n = n^5n domina em an approx n^4nn^5n = n^-n = ( 1n )^n, e domina em .
Então, podemos aproximar:
Simplificando a raiz:
Então:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Raiz na expressão simplificada:
L = limn to infty raiz[n]( 1n )^n = limn to infty 1n = 0

Passo 6

Interpretando o resultado: Como e , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n^4n - nraizn^10n + 1 converge pelo Teste de Cauchy.

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