Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de equações diferenciais. A pergunta é para verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma que facilite a verificação de exatidão. A equação é:
Podemos reorganizar isso para colocá-la na forma
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos comparar
e
:
Claramente,
. Isso significa que a equação não é exata.
Resposta
A equação dada não é exata.
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