Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, vamos precisar saber sobre séries e integrais, além de entender como aplicar o teste da integral para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste diz que se temos uma série
onde
e
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(algum número natural
), então a série converge se a integral
convergir, e diverge se a integral divergir.
Passo 3
Vamos identificar a função
da nossa série. No nosso caso,
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é positiva, contínua e decrescente para
grande o suficiente.
-
Positiva:
é sempre positiva porque o exponencial nunca é negativo, e também é sempre positivo. Então, . -
Contínua: A função é composta por funções contínuas (
e ) e o denominador nunca é zero, então é contínua. -
Decrescente: Para
grande, aproxima-se de , então se aproxima de uma constante, e o denominador aumenta sem parar. Isso faz com que diminua conforme aumenta.
Passo 5
Como
atende todas as condições do teste da integral, vamos calcular a integral
.
Passo 6
Para resolver a integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir
, então
.
Reescrevendo a integral em termos de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite da integral imprópria:
Sabemos que
tende a
quando
tende ao infinito, então:
Portanto:
Passo 8
Como a integral
converge para um valor finito (
), pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.