Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(h) sumn=1^infty e^arctan nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge usando o teste da integral. Para isso, vamos precisar saber sobre séries e integrais, além de entender como aplicar o teste da integral para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste diz que se temos uma série onde e é uma função positiva, contínua e decrescente para (algum número natural ), então a série converge se a integral convergir, e diverge se a integral divergir.

Passo 3

Vamos identificar a função da nossa série. No nosso caso, , então .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para grande o suficiente.
  • Positiva: é sempre positiva porque o exponencial nunca é negativo, e também é sempre positivo. Então, .
  • Contínua: A função é composta por funções contínuas ( e ) e o denominador nunca é zero, então é contínua.
  • Decrescente: Para grande, aproxima-se de , então se aproxima de uma constante, e o denominador aumenta sem parar. Isso faz com que diminua conforme aumenta.

Passo 5

Como atende todas as condições do teste da integral, vamos calcular a integral .

Passo 6

Para resolver a integral, vamos usar uma substituição. Vamos definir integral e^arctan xx^2+1 dx = integral e^u du = e^u + C = e^arctan x + C , então .
Reescrevendo a integral em termos de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite da integral imprópria:
integral1^infty e^arctan xx^2+1 dx = limb to infty [ e^arctan x ]1^b = limb to infty e^arctan b - e^arctan 1
Sabemos que limb to infty e^arctan b = e^pi2 tende a integral1^infty e^arctan xx^2+1 dx = e^pi2 - e^pi4 quando tende ao infinito, então:
Portanto:

Passo 8

Como a integral converge para um valor finito ( ), pelo teste da integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
d y/d x = - (2 x sen(y) + e^x cos(y)) / (x^2 cos(y) - e^x sen(y))
Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d) sumn=1^infty n^4 n-nraizn^10 n+1
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(f) sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+2 n
Resolva as seguintes EDO dx/dt = x^2 t^2