Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(k) sumn=1^infty n4 n^3+n+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos verificar se a série converge ou diverge usando o teste de comparação. Para isso, vamos precisar comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou não.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série: . Para simplificar, vamos observar o comportamento dessa expressão quando fica muito grande. Nos termos de , o termo de maior grau no denominador é , então podemos aproximar o termo geral por .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que é uma série p com , que é maior que 1. Essa série converge.

Passo 4

Vamos verificar se n4n^3+n+1 = 14n^2 + 1 + 1n para 14n^2 + 1 + 1n <= 14n^2 suficientemente grande. Dividindo numerador e denominador por , temos:
Para , , então:

Passo 5

Como e a série converge, pelo teste de comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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