Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO y' + y^3 cos(x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método das variáveis separáveis. A equação que temos é . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais ordinárias (EDOs). Precisamos separar as variáveis e para integrar cada lado da equação separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Começamos isolando :
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Dessa forma, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a no lado esquerdo e em relação a no lado direito:

Passo 5

Calculando as integrais:
E do lado direito:
Aqui, e são constantes de integração.

Passo 6

Vamos simplificar e combinar as constantes de integração em uma única constante :
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 7

Isolando :
E então tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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