Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita
e precisa verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste de Comparação. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a comparação. Observe que
. Então, podemos reescrever a série assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo é
e o segundo é
.
O termo
parece semelhante a uma série do tipo
, que é uma série geométrica convergente porque a razão
. Porém, como temos o termo
no denominador, isso apenas reforça a convergência.
Já o termo
é uma série geométrica com razão
, que é maior que 1. Séries geométricas com razão maior que 1 divergem, pois os termos não tendem a zero.
Passo 4
Segundo o Teste de Comparação, se um dos termos da série for maior que uma série divergente, então a série original também diverge. No nosso caso,
diverge, e como esse termo está presente na nossa série original, isso indica que a série toda também diverge.
Resposta
Portanto, usando o Teste de Comparação, concluímos que a série
diverge.
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