Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(n) sumn=1^infty 1+n 4^2 nn 5^n

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita e precisa verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste de Comparação. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a comparação. Observe que sumn=1^infty 1 + n cdot 16^nn cdot 5^n = sumn=1^infty ( 1n cdot 5^n + n cdot 16^nn cdot 5^n ) = sumn=1^infty ( 1n cdot 5^n + ( 165 )^n ) . Então, podemos reescrever a série assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo separadamente. O primeiro termo é e o segundo é .
O termo parece semelhante a uma série do tipo , que é uma série geométrica convergente porque a razão . Porém, como temos o termo no denominador, isso apenas reforça a convergência.
Já o termo é uma série geométrica com razão , que é maior que 1. Séries geométricas com razão maior que 1 divergem, pois os termos não tendem a zero.

Passo 4

Segundo o Teste de Comparação, se um dos termos da série for maior que uma série divergente, então a série original também diverge. No nosso caso, diverge, e como esse termo está presente na nossa série original, isso indica que a série toda também diverge.

Resposta

Portanto, usando o Teste de Comparação, concluímos que a série diverge.

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