Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO y' - 5y = e^(3x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método do fator integrante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo para encontrar a solução.

Passo 2

Vamos reescrever a EDO no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, permite que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto de funções. O fator integrante, geralmente denotado por μ(x), é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :
Isso aconteceu porque:

Passo 6

Integrando ambos os lados com respeito a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral no lado direito:
Então, temos:

Passo 8

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(k) sumn=1^infty n4 n^3+n+1
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Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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