Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo linear de primeira ordem:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO usando o método do fator integrante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um fator integrante e como aplicá-lo para encontrar a solução.
Passo 2
Vamos reescrever a EDO no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, permite que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto de funções. O fator integrante, geralmente denotado por μ(x), é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Isso aconteceu porque:
Passo 6
Integrando ambos os lados com respeito a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral no lado direito:
Então, temos:
Passo 8
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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