Usando o teste de D (a) sumn=1^infty n+1n^2 2^n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty n+1n^2 2^n utilizando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge ao comparar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é an = n+1n^2 2^n.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que calcula o limite L = limn to infty | an+1an |. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculamos an+1:
an+1 = (n+1)+1(n+1)^2 2^n+1 = n+2(n+1)^2 2^n+1

Passo 5

Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = n+2(n+1)^2 2^n+1n+1n^2 2^n = (n+2) cdot n^2 cdot 2^n(n+1)^2 cdot (n+1) cdot 2^n+1

Passo 6

Simplificamos a expressão:
an+1an = (n+2) n^2(n+1)^3 cdot 2

Passo 7

Calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (n+2) n^2(n+1)^3 cdot 2 = limn to infty n^3 + 2n^22(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 12

Passo 8

Como L = 12 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+1n^2 2^n converge pelo Teste da Razão.

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