Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO x y' + 4 y = x^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método do fator integrante. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação na forma padrão, achar o fator integrante e então encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato familiar de uma EDO linear: . Para isso, dividimos os dois lados da equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai multiplicar toda a equação para facilitar a solução. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo por :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 5

Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Usando o teste de D (a) sumn=1^infty n+1n^2 2^n
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(n) sumn=1^infty 1+n 4^2 nn 5^n
Usando o teste de D (d) sumn=1^infty 3 nraizn^3+1
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(3y^2 + 10xy^2) dx + (6xy - 2 + 10x^2y) dy = 0