Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
E precisamos usar o teste de comparação para determinar se essa série converge ou diverge. O teste de comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar identificar uma série simples que seja fácil de analisar e que possa ser comparada com a nossa série original.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da nossa série para facilitar a comparação. Observando o termo geral:
Podemos notar que, para valores grandes de
, o termo
no denominador domina o termo
, e no numerador,
cresce mais rápido que
. Então, para simplificar, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos considerar a série de referência:
Sabemos que essa é uma série p, onde
. Como
, essa série converge. Essa informação será útil para o nosso teste de comparação.
Passo 4
Para aplicar o teste de comparação, precisamos mostrar que:
para algum constante
e para todo
suficientemente grande.
Vamos verificar a desigualdade:
Observando que
cresce mais devagar que qualquer potência de
, podemos afirmar que
também é menor que
para
grande. Então:
Escolhemos
.
Passo 5
Como mostramos que:
E sabemos que a série
converge, pelo teste de comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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a)
a)
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