Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
® sumn=1^infty n+ln nn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty n + ln nn^3 + 1
E precisamos usar o teste de comparação para determinar se essa série converge ou diverge. O teste de comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar identificar uma série simples que seja fácil de analisar e que possa ser comparada com a nossa série original.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da nossa série para facilitar a comparação. Observando o termo geral:
n + ln nn^3 + 1
Podemos notar que, para valores grandes de n + ln nn^3 + 1 approx nn^3 = 1n^2 , o termo no denominador domina o termo , e no numerador, cresce mais rápido que . Então, para simplificar, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, vamos considerar a série de referência:
sumn=1^infty 1n^2
Sabemos que essa é uma série p, onde . Como , essa série converge. Essa informação será útil para o nosso teste de comparação.

Passo 4

Para aplicar o teste de comparação, precisamos mostrar que:
0 <= n + ln nn^3 + 1 <= Cn^2
para algum constante n + ln nn^3 + 1 <= n + ln nn^3 = 1n^2 + ln nn^3 e para todo n + ln nn^3 + 1 <= 2n^2 suficientemente grande.
Vamos verificar a desigualdade:
Observando que cresce mais devagar que qualquer potência de , podemos afirmar que também é menor que para grande. Então:
Escolhemos .

Passo 5

Como mostramos que:
0 <= n + ln nn^3 + 1 <= 2n^2
E sabemos que a série converge, pelo teste de comparação, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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