Utilize o método do fator integrante para determinar uma solução geral para as EDO d y/d x + 3 y = e^(-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da forma . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente as equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. Ela está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar toda a equação para que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular isso:

Passo 4

Com o fator integrante encontrado, vamos multiplicar toda a equação original por :
Isso simplifica para:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Assim, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos resolver para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resahar as EDOs:
a) x dy/dx = y + x e^(y/x)
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO d y/d x - e^x/y^2
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
® sumn=1^infty n+ln nn^3+1
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(4 x^3 - 6 x y^2) dx + (4 y^3 - 6 x y) dy = 0