Verificar se os sistemas admitem solução única. Em caso afirmativo, determinar sua solução através da regra de Cramer:
lx+2 y+3 z=1 2 x+3 y-z=-5 x+2 z=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
x + 2y + 3z = 1 2x + 3y - z = -5 x + 2z = 0
O objetivo é verificar se esse sistema tem uma solução única e, se tiver, encontrar essa solução usando a Regra de Cramer. Para isso, vamos utilizar conceitos de determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & -1 1 & 0 & 2
Para determinar se o sistema tem solução única, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (3 cdot 2 - (-1) cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 2 - (-1) cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 0 - 3 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (6 - 0) - 2 cdot (4 + 1) + 3 cdot (0 - 3) = 6 - 10 - 9 = -13
Simplificando:
Como , o sistema admite uma solução única.

Passo 4

Agora, vamos usar a Regra de Cramer para encontrar as soluções Ax = 1 & 2 & 3 -5 & 3 & -1 0 & 0 & 2 , Ay = 1 & 1 & 3 2 & -5 & -1 1 & 0 & 2 , Az = 1 & 2 & 1 2 & 3 & -5 1 & 0 & 0 , e . Para isso, substituímos a coluna correspondente à variável pelos termos constantes e calculamos os determinantes.
Primeiro, criamos as matrizes , e :

Passo 5

Calculamos agora os determinantes dessas matrizes.
Para det(Ax) = 1 cdot (3 cdot 2 - (-1) cdot 0) - 2 cdot (-5 cdot 2 - (-1) cdot 0) + 3 cdot (-5 cdot 0 - 3 cdot 0) = 6 - (-20) + 0 = 26 :
det(Ay) = 1 cdot (-5 cdot 2 - (-1) cdot 0) - 1 cdot (2 cdot 2 - (-1) cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 0 - (-5) cdot 1) = (-10) - (4 + 1) + (0 + 5) = -10 -5 +5 = -10
Para det(Az) = 1 cdot (3 cdot 0 - (-5) cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 0 - (-5) cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 0 - 3 cdot 1) = 0 - 2 cdot (0 +5) + (0 -3) = 0 -10 -3 = -13 :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer:
x = det(Ax)det(A) = 26-13 = -2
y = det(Ay)det(A) = -10-13 = 1013
z = det(Az)det(A) = -13-13 = 1

Resposta

A solução única do sistema é:
x = -2, y = 1013, z = 1

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adj A
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C=[cccc8 & 0 & 1 & 1 0 & -1 & 6 & 1 0 & 0 & 4 & 0 0 & 2 & 1 & 10].