Use o algoritmo de inversão para obter a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
[rrrraiz2 & 3 raiz2 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 2 0 & 0 & 1]

Passo 1

Entendendo o problema e o que vamos precisar
Você tem uma matriz quadrada de ordem 3:
raiz2 & 3 raiz2 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 2 0 & 0 & 1
E o objetivo é encontrar a sua inversa usando o algoritmo de inversão, que basicamente envolve transformar a matriz original na matriz identidade por meio de operações de linha, aplicando essas mesmas operações na matriz identidade para obter a inversa.
Para isso, precisamos conhecer:
  • Operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e somar múltiplos de uma linha a outra.
  • Matriz identidade: uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.

Passo 2

Montando a matriz aumentada
Primeiro, vamos criar uma matriz aumentada que combina a matriz original com a matriz identidade de mesma ordem:
[ccc|ccc raiz2 & 3 raiz2 & 0 & 1 & 0 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Isso significa que, à direita da nossa matriz original, colocamos a matriz identidade. Nosso objetivo é manipular a parte da esquerda até que ela se torne a identidade, e então a parte da direita será a inversa.

Passo 3

Transformando o primeiro elemento da primeira linha em 1
Queremos que o elemento [ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 1raiz2 & 0 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ] seja 1. Para isso, vamos dividir toda a primeira linha por :
Teoria aplicada: Dividir uma linha por um número diferente de zero é uma operação válida que não altera a solução do sistema.

Passo 4

Zerando os elementos abaixo de -4 raiz2 + 4 times 1 = -4 raiz2 + 4 = (mantém-se)
Queremos que os elementos abaixo de 1 na primeira coluna sejam 0. Para isso:
  • Linha 2: Adicionar 4 vezes a Linha 1 à Linha 2.
  • Linha 3: Já está com 0 na primeira coluna, então não precisamos alterar.
Calculando:
Linha 2:
-4 raiz2 + 4 times 1 = -4 raiz2 + 4 é
Na verdade, precisamos observar que o coeficiente é 4 raiz2 times Linha 1 = (4 raiz2, 12 raiz2, 0 | 4 raiz2raiz2, 0, 0) = (4 raiz2, 12 raiz2, 0 | 4, 0, 0) , então:
Linha 2 + 4 raiz2 times Linha 1 = ( -4 raiz2 + 4 raiz2, raiz2 + 12 raiz2, 2 + 0 | 0 + 4, 1 + 0, 0 + 0 ) = (0, 13 raiz2, 2 | 4, 1, 0)
Parece que há uma confusão aqui. Para eliminar [ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 1raiz2 & 0 & 0 0 & 13 raiz2 & 2 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ] , precisamos multiplicar a Linha 1 por e somar à Linha 2.
Vamos refazer:
Multiplicamos a Linha 1 por :
Agora, somamos à Linha 2:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Transformando o elemento [ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 1raiz2 & 0 & 0 0 & 1 & 213 raiz2 & 413 raiz2 & 113 raiz2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ] em 1
Agora, queremos que o elemento seja 1. Para isso, vamos dividir a segunda linha por :
Teoria aplicada: Dividir uma linha por o seu elemento principal transforma esse elemento em 1.

Passo 6

Zerando os elementos acima e abaixo de 1 - 3 times 0 = 1 3 - 3 times 1 = 0 0 - 3 times 213 raiz2 = -613 raiz2 1raiz2 - 3 times 413 raiz2 = 1raiz2 - 1213 raiz2 = 1raiz2 (1 - 1213) = 113 raiz2 0 - 3 times 113 raiz2 = -313 raiz2 0 - 3 times 0 = 0
Queremos que os outros elementos na coluna 2 sejam 0.
  • Linha 1: Subtrair 3 vezes a Linha 2 da Linha 1.
  • Linha 3: Já está com 0 na coluna 2, então não precisa alterar.
Vamos calcular:
Linha 1:
[ccc|ccc 1 & 0 & -613 raiz2 & 113 raiz2 & -313 raiz2 & 0 0 & 1 & 213 raiz2 & 413 raiz2 & 113 raiz2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Então, a matriz fica:

Passo 7

Zerando os elementos acima de -613 raiz2 + 613 raiz2 times 1 = 0 113 raiz2 + 613 raiz2 times 0 = 113 raiz2 -313 raiz2 + 613 raiz2 times 1 = 313 raiz2 0 + 613 raiz2 times 0 = 0
Finalmente, queremos que todos os elementos acima do elemento 213 raiz2 - 213 raiz2 times 1 = 0 413 raiz2 - 213 raiz2 times 0 = 413 raiz2 113 raiz2 - 213 raiz2 times 1 = -113 raiz2 0 - 213 raiz2 times 0 = 0 sejam 0.
  • Linha 1: Já tem um valor (-6)/(13√2), vamos somar 6/(13√2) vezes a Linha 3 à Linha 1.
  • Linha 2: Já tem [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 113 raiz2 & 313 raiz2 & 613 raiz2 0 & 1 & 0 & 413 raiz2 & -113 raiz2 & -213 raiz2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ] , vamos subtrair vezes a Linha 3 da Linha 2.
Calculando:
Linha 1:
Linha 2:
Portanto, a matriz fica:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
113 raiz2 & 313 raiz2 & 613 raiz2 413 raiz2 & -113 raiz2 & -213 raiz2 0 & 0 & 1

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