Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty n sen^2 nn^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, o que precisamos saber aqui é como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Para facilitar, vamos simplificar isso observando o comportamento da fração quando fica grande. Nesse caso, o no denominador domina o , então podemos aproximar a expressão por .

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que para todo 0 <= sen^2 nn^2 <= 1n^2 , já que o seno ao quadrado nunca sai desse intervalo. Então, podemos afirmar que:
A série é uma série p com , e sabemos que ela converge porque .

Passo 4

Aplicando o teste da comparação, já que e a série de comparação converge, podemos concluir que a série também converge.

Passo 5

Voltando à série original , vimos que ela se comporta de maneira semelhante a para grande, e já mostramos que essa última converge. Portanto, pela comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty tan (1n)
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=2^infty 3ln (n^2)
Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge: sumn=1^infty 2 n+1raizn^3+1
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: sumn=1^infty (-1)^n-1ln (n+4)