Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, o que precisamos saber aqui é como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Para facilitar, vamos simplificar isso observando o comportamento da fração quando
fica grande. Nesse caso, o
no denominador domina o
, então podemos aproximar a expressão por .
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Sabemos que para todo
, já que o seno ao quadrado nunca sai desse intervalo. Então, podemos afirmar que:
A série
é uma série p com
, e sabemos que ela converge porque
.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação, já que e a série de comparação
converge, podemos concluir que a série também converge.
Passo 5
Voltando à série original , vimos que ela se comporta de maneira semelhante a para
grande, e já mostramos que essa última converge. Portanto, pela comparação, a série original também converge.
Resposta
A série converge.
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Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Use o teste da comparação para determinar se a série é convergente ou divergente:
Use o teste da comparação do limite para determinar se a série converge ou diverge:
Use o Teste da Série Alternada para testar as séries: