Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência. Precisaremos entender como aplicar o Teste do Termo Geral para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, ou seja, , não for igual a zero, então a série diverge. Ou seja, se:
ã

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Precisamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito.

Passo 4

Para calcular o limite, lembramos que, para valores pequenos de , o seno pode ser aproximado por:
Então, substituindo por :

Passo 5

Multiplicando pelo :
Agora, vamos calcular o limite conforme tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite do termo geral é:
De acordo com o Teste do Termo Geral, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente:
Sejam os conjuntos e , determine:
(b)
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(b)
Seja , considerando e determine formas simplificadas para
(a)