Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência. Precisaremos entender como aplicar o Teste do Termo Geral para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, ou seja,
, não for igual a zero, então a série diverge. Ou seja, se:
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Precisamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 4
Para calcular o limite, lembramos que, para valores pequenos de
, o seno pode ser aproximado por:
Então, substituindo
por
:
Passo 5
Multiplicando pelo
:
Agora, vamos calcular o limite conforme
tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite do termo geral é:
De acordo com o Teste do Termo Geral, isso significa que a série diverge.
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente:
Sejam os conjuntos
e
, determine:
(b)
(b)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(b)
(b)
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(a)
(a)