Use algum teste apropriado para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty n sen(1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência. Precisaremos entender como aplicar o Teste do Termo Geral para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série, ou seja, limn to infty an, não for igual a zero, então a série diverge. Ou seja, se:
limn to infty an neq 0 então sum an diver>= ã

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Precisamos calcular o limite desse termo quando an = n sen(1n) tende ao infinito.

Passo 4

Para calcular o limite, lembramos que, para valores pequenos de x, o seno pode ser aproximado por:
Então, substituindo sen(x) approx x - x^36 por x:

Passo 5

Multiplicando pelo n:
Agora, vamos calcular o limite conforme n sen(1n) approx n ( 1n - 16n^3 ) = 1 - 16n^2 tende ao infinito:
n

Passo 6

Como o limite do termo geral é:
limn to infty an = 1 neq 0
De acordo com o Teste do Termo Geral, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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