Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=1^infty(1+1n)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o Teste da Raiz para descobrir se a série converge ou diverge. O Teste da Raiz é útil quando os termos da série têm potências grandes, como é o caso aqui com . Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Raiz. Ele diz que para uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá resposta.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz no nosso termo L = limn to infty raiz[n](1+1n)^n^2 :
raiz[n](1+1n)^n^2 = (1+1n)^n^2/n = (1+1n)^n
Podemos simplificar a raiz e a potência:
L = limn to infty (1+1n)^n
Agora, temos:

Passo 4

Esse limite L = e é bem conhecido e tende a , onde .
Então:

Passo 5

Agora vamos comparar e approx 2.71828 > 1 com 1:
Segundo o Teste da Raiz, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz, já que o limite .

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