Use as condições de casamento na interface das cordas (páginas 11, 12 e posteriores do arquivo 0004_Ondas&Pulsos3-CasosNaoHomog-Interfaces-Impedancia.pdf) para expressar as razões
e
entre as amplitudes, como funções das densidades
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cordas que se encontram numa interface e queremos relacionar as amplitudes das ondas que passam e refletem nessa interface. A matéria envolvida aqui é sobre ondas em cordas e as condições de contorno que elas devem satisfazer quando passam de um meio para outro. Para resolver isso, vamos precisar das densidades lineares das cordas, que são representadas por
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar das condições de contorno para as ondas nas interfaces das cordas. Essas condições garantem que a amplitude da onda e a tensão sejam contínuas na interface. Basicamente, isso significa que a deslocação e a força transmitida devem ser iguais de um lado para o outro da interface.
Passo 3
Vamos considerar que temos uma onda indo de uma corda com densidade
para outra com densidade
. Suponha que
seja a amplitude da onda incidente na corda com
,
a amplitude da onda transmitida na corda com
, e
a amplitude da onda refletida de volta na corda com
.
Passo 4
Aplicando a condição de continuidade da deslocação na interface, temos que a deslocação da corda com
deve ser igual à deslocação da corda com
no ponto de encontro. Isso nos dá a relação:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de continuidade da tensão. A tensão em cada corda é dada por
, onde
é a velocidade da onda na corda. Como a tensão deve ser contínua na interface, temos:
Passo 6
Sabemos que a velocidade da onda na corda é
. Como a tensão
é a mesma em ambas as cordas na interface, podemos simplificar as velocidades como
e
. Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as razões
e
.
Passo 8
Da primeira equação, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo isso na segunda equação:
Passo 9
Vamos organizar os termos para isolar
:
Agrupando os termos com
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora, usando a relação
, temos:
Resposta
As razões entre as amplitudes são:
e
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para
, simplesmente porque não existe corda
para
.