Use as condições de casamento na interface das cordas (páginas 11, 12 e posteriores do arquivo 0004_Ondas&Pulsos3-CasosNaoHomog-Interfaces-Impedancia.pdf) para expressar as razões A+ / A-e B- / A-entre as amplitudes, como funções das densidades mu pm.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cordas que se encontram numa interface e queremos relacionar as amplitudes das ondas que passam e refletem nessa interface. A matéria envolvida aqui é sobre ondas em cordas e as condições de contorno que elas devem satisfazer quando passam de um meio para outro. Para resolver isso, vamos precisar das densidades lineares das cordas, que são representadas por mu+ e mu-.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar das condições de contorno para as ondas nas interfaces das cordas. Essas condições garantem que a amplitude da onda e a tensão sejam contínuas na interface. Basicamente, isso significa que a deslocação e a força transmitida devem ser iguais de um lado para o outro da interface.

Passo 3

Vamos considerar que temos uma onda indo de uma corda com densidade mu+ para outra com densidade mu-. Suponha que A- seja a amplitude da onda incidente na corda com mu-, A+ a amplitude da onda transmitida na corda com mu+, e B- a amplitude da onda refletida de volta na corda com mu-.

Passo 4

Aplicando a condição de continuidade da deslocação na interface, temos que a deslocação da corda com mu+ deve ser igual à deslocação da corda com mu- no ponto de encontro. Isso nos dá a relação:
A- + B- = A+

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de continuidade da tensão. A tensão em cada corda é dada por T = mu v^2, onde v é a velocidade da onda na corda. Como a tensão deve ser contínua na interface, temos:
mu- v- (A- - B-) = mu+ v+ A+

Passo 6

Sabemos que a velocidade da onda na corda é v = raizTmu. Como a tensão T é a mesma em ambas as cordas na interface, podemos simplificar as velocidades como v- = raizTmu- e v+ = raizTmu+. Substituindo isso na equação anterior:
mu- raizTmu- (A- - B-) = mu+ raizTmu+ A+
Simplificando, temos:
raizmu- (A- - B-) = raizmu+ A+

Passo 7

Agora, temos duas equações:
  1. A- + B- = A+
  2. raizmu- (A- - B-) = raizmu+ A+
Vamos resolver esse sistema para encontrar as razões A+ / A- e B- / A-.

Passo 8

Da primeira equação, podemos expressar A+ em termos de A- e B-:
A+ = A- + B-
Substituindo isso na segunda equação:
raizmu- (A- - B-) = raizmu+ (A- + B-)

Passo 9

Vamos organizar os termos para isolar B-:
raizmu- A- - raizmu- B- = raizmu+ A- + raizmu+ B-
Agrupando os termos com B-:
-raizmu- B- - raizmu+ B- = raizmu+ A- - raizmu- A-
B- (-raizmu- - raizmu+) = A- (raizmu+ - raizmu-)

Passo 10

Resolvendo para B- / A-:
B-A- = raizmu+ - raizmu--raizmu- - raizmu+ = raizmu+ - raizmu--(raizmu- + raizmu+) = raizmu- - raizmu+raizmu- + raizmu+

Passo 11

Agora, usando a relação A+ = A- + B-, temos:
A+A- = 1 + B-A- = 1 + raizmu- - raizmu+raizmu- + raizmu+ = 2raizmu-raizmu- + raizmu+

Resposta

As razões entre as amplitudes são:
A+A- = 2,raizmu-raizmu- + raizmu+
e
B-A- = raizmu- - raizmu+raizmu- + raizmu+

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