Use as condições de casamento na interface das cordas (páginas 11, 12 e posteriores do arquivo 0004_Ondas&Pulsos3-CasosNaoHomog-Interfaces-Impedancia.pdf) para expressar as razões e entre as amplitudes, como funções das densidades .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cordas que se encontram numa interface e queremos relacionar as amplitudes das ondas que passam e refletem nessa interface. A matéria envolvida aqui é sobre ondas em cordas e as condições de contorno que elas devem satisfazer quando passam de um meio para outro. Para resolver isso, vamos precisar das densidades lineares das cordas, que são representadas por e .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar das condições de contorno para as ondas nas interfaces das cordas. Essas condições garantem que a amplitude da onda e a tensão sejam contínuas na interface. Basicamente, isso significa que a deslocação e a força transmitida devem ser iguais de um lado para o outro da interface.

Passo 3

Vamos considerar que temos uma onda indo de uma corda com densidade para outra com densidade . Suponha que seja a amplitude da onda incidente na corda com , a amplitude da onda transmitida na corda com , e a amplitude da onda refletida de volta na corda com .

Passo 4

Aplicando a condição de continuidade da deslocação na interface, temos que a deslocação da corda com deve ser igual à deslocação da corda com no ponto de encontro. Isso nos dá a relação:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição de continuidade da tensão. A tensão em cada corda é dada por , onde é a velocidade da onda na corda. Como a tensão deve ser contínua na interface, temos:

Passo 6

Sabemos que a velocidade da onda na corda é . Como a tensão é a mesma em ambas as cordas na interface, podemos simplificar as velocidades como e . Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando, temos:

Passo 7

Agora, temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as razões e .

Passo 8

Da primeira equação, podemos expressar em termos de e :
Substituindo isso na segunda equação:

Passo 9

Vamos organizar os termos para isolar :
Agrupando os termos com :

Passo 10

Resolvendo para :

Passo 11

Agora, usando a relação , temos:

Resposta

As razões entre as amplitudes são:
e

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