Verificar se a função a seguir é contínua em P(0,0).
(b) f(x, y)=cx sin 1y, se y neq 0 1, se y=0

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . A matéria que vamos usar aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e como calcular limites em várias direções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor da função no ponto f(0, 0) = 1 . Olhando a definição de :
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de f(x, y) = x sin ( 1y ), & se y neq 0 1, & se y = 0 quando se aproxima de . A função é definida de duas maneiras dependendo de :
Para , vamos analisar o comportamento de quando e vão para 0.

Passo 4

Sabemos que -1 <= sin ( 1y ) <= 1 está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-|x| <= x sin ( 1y ) <= |x|
Multiplicando todos os lados por lim(x,y) to (0,0) x sin ( 1y ) = 0 :
Quando se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0. Pelo teorema do sanduíche (ou da compressão), concluímos que:

Passo 5

Com isso, temos que o limite de quando se aproxima de é 0. Mas vimos no Passo 2 que .

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é 0, que é diferente de , a função não é contínua no ponto .

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