Verificar se a função a seguir é contínua em
.
(b)
(b)
Passo 1
Então, a gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é a continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e como calcular limites em várias direções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor da função no ponto
. Olhando a definição de
:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. A função é definida de duas maneiras dependendo de
:
Para
, vamos analisar o comportamento de
quando
e
vão para 0.
Passo 4
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por
:
Quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Pelo teorema do sanduíche (ou da compressão), concluímos que:
Passo 5
Com isso, temos que o limite de
quando
se aproxima de
é 0. Mas vimos no Passo 2 que
.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que é diferente de
, a função
não é contínua no ponto
.