Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A, onde R é a região contida no círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular
integral duplaR e^-(x^2+y^2) , dA,
onde é a região dentro do círculo . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são e . Além disso, o elemento de área se transforma em . Isso porque na integral polar, temos que considerar a expansão do elemento de área.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2 em coordenadas polares. Substituindo:
integral duplaR e^-r^2 , r , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração. Como a região integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 , r , dr , dtheta é o círculo de raio 1:
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 0 a .
Então, nossa integral se torna:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 e^-r^2 , r , dr :
-12 integral0^-1 e^u , du = 12 ( e^-0 - e^-1 ) = 12 (1 - 1e )
Fazendo uma substituição simples, seja , então , ou seja, . A integral vira:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^2pi 12 (1 - 1e ) , dtheta = 12 (1 - 1e ) cdot 2pi = pi (1 - 1e ) :

Resposta

A integral dupla vale
pi (1 - 1e)

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