Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região contida no círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular
onde
é a região dentro do círculo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, as relações são
e
. Além disso, o elemento de área
se transforma em
. Isso porque na integral polar, temos que considerar a expansão do elemento de área.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão
em coordenadas polares. Substituindo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração. Como a região
é o círculo de raio 1:
-
varia de 0 a 1. -
varia de 0 a .
Então, nossa integral se torna:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
, ou seja,
. A integral vira:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale