Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: [2] sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar uma série infinita usando o Critério de Leibniz. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
Matéria envolvida: Série alternada e critérios de convergência.
O que precisamos: Verificar se a série atende os requisitos do Critério de Leibniz para convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério de Leibniz. Para uma série alternada da forma:
sumn=1^infty (-1)^n+1 bn
Ela converge se:
  1. bₙ é positiva: Os termos sem o (-1)ⁿ devem ser positivos.
  2. bₙ é decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
  3. Limite de bₙ tende a zero: Quando n vai para infinito, bₙ precisa se aproximar de zero.

Passo 3

Vamos identificar os bₙ na nossa série:
bn = n^2 2^nn!
Primeiro, checar se bₙ é positivo. Como todas as partes da fração são positivas para n ≥ 1, tá tranquilo.

Passo 4

Agora, vamos ver se bₙ é decrescente. Para isso, vamos comparar bₙ com bₙ₊₁:
bn+1 = (n+1)^2 2^n+1(n+1)!
Vamos calcular a razão:
bn+1bn = (n+1)^2 2^n+1(n+1)! times n!n^2 2^n = (n+1)^2 times 2n^2 times (n+1) = 2(n+1)n^2
Simplificando:
bn+1bn = 2(n+1)n^2
Para n ≥ 1, essa razão é menor que 1, indicando que bₙ está decrescendo conforme n aumenta.

Passo 5

Por último, vamos verificar o limite de bₙ quando n tende ao infinito:
limn to infty n^2 2^nn!
Sabemos que o fatorial cresce mais rápido que qualquer exponencial. Então:
limn to infty n^2 2^nn! = 0

Resposta

Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, a série
sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
converge.

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