Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar uma série infinita usando o Critério de Leibniz. A série é:
Matéria envolvida: Série alternada e critérios de convergência.
O que precisamos: Verificar se a série atende os requisitos do Critério de Leibniz para convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério de Leibniz. Para uma série alternada da forma:
Ela converge se:
- bₙ é positiva: Os termos sem o (-1)ⁿ devem ser positivos.
- bₙ é decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
- Limite de bₙ tende a zero: Quando n vai para infinito, bₙ precisa se aproximar de zero.
Passo 3
Vamos identificar os bₙ na nossa série:
Primeiro, checar se bₙ é positivo. Como todas as partes da fração são positivas para n ≥ 1, tá tranquilo.
Passo 4
Agora, vamos ver se bₙ é decrescente. Para isso, vamos comparar bₙ com bₙ₊₁:
Vamos calcular a razão:
Simplificando:
Para n ≥ 1, essa razão é menor que 1, indicando que bₙ está decrescendo conforme n aumenta.
Passo 5
Por último, vamos verificar o limite de bₙ quando n tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce mais rápido que qualquer exponencial. Então:
Resposta
Como todas as condições do Critério de Leibniz são satisfeitas, a série
converge.