Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa usar o Critério de Leibniz para verificar se a série
converge ou não. Isso envolve conceitos de séries alternadas e regras específicas para testar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal a cada passo, geralmente representada por
ou
. No nosso caso, temos
, então está no formato padrão.
Passo 3
Agora, o Critério de Leibniz nos ajuda a determinar a convergência dessas séries alternadas. Ele diz que a série
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar isso para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificar
na nossa série. Aqui,
. Precisamos ver se
é decrescente. Como o logaritmo natural
aumenta conforme
aumenta, o denominador está aumentando, então
está realmente decrescendo.
Passo 5
Segundo, vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Como
cresce sem limites quando
cresce, o limite de
é zero.
Passo 6
Como as duas condições do Critério de Leibniz são satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Critério de Leibniz.