Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries: [4] sumn=1^infty (-1)^nln (n)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente precisa usar o Critério de Leibniz para verificar se a série converge ou não. Isso envolve conceitos de séries alternadas e regras específicas para testar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma série onde os termos mudam de sinal a cada passo, geralmente representada por ou . No nosso caso, temos , então está no formato padrão.

Passo 3

Agora, o Critério de Leibniz nos ajuda a determinar a convergência dessas séries alternadas. Ele diz que a série converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar isso para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificar na nossa série. Aqui, . Precisamos ver se é decrescente. Como o logaritmo natural aumenta conforme aumenta, o denominador está aumentando, então está realmente decrescendo.

Passo 5

Segundo, vamos calcular o limite de limn to infty 1ln(n) quando vai para o infinito:
Como cresce sem limites quando cresce, o limite de é zero.

Passo 6

Como as duas condições do Critério de Leibniz são satisfeitas (termos decrescentes e limite zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Critério de Leibniz.

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