Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. Vamos trabalhar com o conteúdo de séries infinitas e usar um critério que nos ajude a decidir isso. Para isso, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nossa análise. Sabemos que , então a série fica:
Agora temos a série na forma .
Passo 3
Para determinar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a série em questão com outra série conhecida que seja convergente ou divergente.
Sabemos que a série geométrica é convergente porque , e assim a razão .
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries:
Termo da nossa série:
Termo da série geométrica:
Observamos que para , mas isso não nos dá diretamente uma comparação clara. Então, vamos ajustar nossa abordagem e usar o Teste da Razão, que é mais adequado para séries que envolvem fatores exponenciais e polinomiais como essa.
Passo 5
O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
Se an = ne^n , a série converge; se an+1an = (n+1)/e^n+1n/e^n = n+1n cdot 1e = (1 + 1n) cdot 1e , diverge; se L = limn to infty (1 + 1n) cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Calculando :
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito: