Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty sin ^2(1n)n (Dica: tente usar o resultado do item (e) do exercício 1).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo, qual matéria envolve e o que precisamos para resolver. O enunciado nos dá a série infinita sumn=1^infty sin^2(1n)n e nos pede para determinar se ela é convergente ou divergente. A matéria relacionada é o estudo de séries infinitas e seus critérios de convergência, como o Teste da Comparação. Precisaremos analisar o comportamento dos termos da série para aplicar um critério adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2(1n). Sabemos que, para valores pequenos de x, a função seno pode ser aproximada por sin(x) approx x. Assim, para n grande, temos:
sin(1n) approx 1n
Elevando ao quadrado:
sin^2(1n) approx (1n)^2 = 1n^2

Passo 3

Substituindo essa aproximação na série original, obtemos:
sin^2(1n)n approx 1n^2n = 1n^3

Passo 4

Agora, vamos comparar a série original com a série p conhecida:
sumn=1^infty 1n^p
Sabemos que a s��rie p converge se p > 1. No nosso caso, temos p = 3, então a série:
sumn=1^infty 1n^3
é convergente.

Passo 5

Utilizando o Teste da Comparação, já que:
sin^2(1n)n <= 1n^3
e sabemos que a série de comparação sum 1n^3 converge, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sin^2(1n)n é convergente.

Exercícios relacionados

Calcule cada uma das integrais abaixo: integral(3 csc ^2(t)-5 sec (t) tan (t)) d t
Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n e^-n
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 2 x-1x^2-x d x
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral csc ^2(2 x) d x