Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
(Dica: tente usar o resultado do item (e) do exercício 1).
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo, qual matéria envolve e o que precisamos para resolver. O enunciado nos dá a série infinita
e nos pede para determinar se ela é convergente ou divergente. A matéria relacionada é o estudo de séries infinitas e seus critérios de convergência, como o Teste da Comparação. Precisaremos analisar o comportamento dos termos da série para aplicar um critério adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Assim, para
grande, temos:
Elevando ao quadrado:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na série original, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos comparar a série original com a série p conhecida:
Sabemos que a s��rie p converge se
. No nosso caso, temos
, então a série:
é convergente.
Passo 5
Utilizando o Teste da Comparação, já que:
e sabemos que a série de comparação
converge, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Calcule cada uma das integrais abaixo:
Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: