Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. O exercício nos pede para calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integração por substituição, que é uma técnica útil quando conseguimos simplificar a integral ao mudar de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma nova variável, facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador da fração. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque o numerador parece estar relacionado à derivada do denominador. Ao identificar essa relação, facilitamos a substituição.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Ou seja,
Percebemos que é exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Isso é ótimo porque significa que podemos substituir todo o numerador e em termos de .
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
A integral de em relação a é uma das integrais básicas que conhecemos:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, substituímos de volta para a variável original :