Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 2 x-1x^2-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método da substituição. O exercício nos pede para calcular a integral:
integral 2x - 1x^2 - x , dx
Aqui, estamos lidando com uma integração por substituição, que é uma técnica útil quando conseguimos simplificar a integral ao mudar de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída por uma nova variável, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador da fração. Vamos definir:
u = x^2 - x
Essa escolha é estratégica porque o numerador parece estar relacionado à derivada do denominador. Ao identificar essa relação, facilitamos a substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2x - 1 em relação a du = (2x - 1) , dx :
Ou seja,
Percebemos que é exatamente o que temos no numerador da nossa integral. Isso é ótimo porque significa que podemos substituir todo o numerador e em termos de .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2x - 1x^2 - x , dx = integral duu
A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a é uma das integrais básicas que conhecemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, substituímos ln|u| + C = ln|x^2 - x| + C de volta para a variável original :

Resposta

ln | x^2 - x | + C

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