Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 3^-3 n cdot 5^2 n-3

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: . O assunto principal é convergência ou divergência de séries, e vamos precisar usar critérios de teste de séries, como o teste da razão ou série geométrica, para descobrir se essa série soma a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para facilitar a análise. Temos:
3^-3n cdot 5^2n-3 = (13^3)^n cdot 5^2n cdot 5^-3 = (127)^n cdot 25^n cdot 1125

Passo 3

Agora, vamos combinar as potências de (127)^n cdot 25^n = (2527)^n :
sumn=1^infty (2527)^n cdot 1125
Então, a série fica:

Passo 4

Perceba que é a razão de uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por essa razão. Sabemos que uma série geométrica converge se .

Passo 5

No nosso caso, a razão . Como , temos . Isso significa que , então a série geométrica converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados