Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série
e precisamos usar o teste limite de comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e o teste em si.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a comparação. Observe que:
Quando
cresce, o termo
domina sobre o
, então podemos pensar que para
grandes,
.
Passo 3
Com base nisso, podemos aproximar a expressão original:
Assim, a série original se parece com:
Esta última série é uma série p, onde
.
Passo 4
Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série comparativa
converge.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teste limite de comparação. Vamos calcular o limite da razão entre o termo da nossa série e o termo da série comparativa:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Como o limite é um número finito positivo (
), o teste limite de comparação nos diz que a série original converge ou diverge da mesma forma que a série comparativa.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
औ
Calculai os módulos
e versores
dos vetores abaixo listados.
a) .
a)
As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
d) .
d)
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.