Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
23 sumn=2^infty 1raiz4 n^3-5 n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série
23 sumn=2^infty 1raiz4 n^3-5 n
e precisamos usar o teste limite de comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e o teste em si.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a comparação. Observe que:
4n^3 - 5n = n(4n^2 - 5)
Quando cresce, o termo domina sobre o , então podemos pensar que para grandes, .

Passo 3

Com base nisso, podemos aproximar a expressão original:
1raiz4n^3 - 5n approx 1raiz4n^3 = 12n^3/2
Assim, a série original se parece com:
sumn=2^infty 1n^3/2
Esta última série é uma série p, onde .

Passo 4

Sabemos que uma série p converge se . Como , a série comparativa converge.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste limite de comparação. Vamos calcular o limite da razão entre o termo da nossa série e o termo da série comparativa:
limn to infty 1raiz4n^3 - 5n1n^3/2 = limn to infty n^3/2raiz4n^3 - 5n
Simplificando dentro da raiz:
= limn to infty n^3/2raiz4n^3(1 - 54n^2) = limn to infty n^3/2n^3/2 raiz4(1 - 54n^2)
= limn to infty 1raiz4(1 - 0) = 12

Passo 6

Como o limite é um número finito positivo ( ), o teste limite de comparação nos diz que a série original converge ou diverge da mesma forma que a série comparativa.

Resposta

Portanto, a série
23 sumn=2^infty 1raiz4 n^3-5 n
converge.

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