Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série
e precisamos usar o teste limite de comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e o teste em si.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a comparação. Observe que:
Quando cresce, o termo domina sobre o , então podemos pensar que para grandes, .

Passo 3

Com base nisso, podemos aproximar a expressão original:
Assim, a série original se parece com:
Esta última série é uma série p, onde .

Passo 4

Sabemos que uma série p converge se . Como , a série comparativa converge.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste limite de comparação. Vamos calcular o limite da razão entre o termo da nossa série e o termo da série comparativa:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Como o limite é um número finito positivo ( ), o teste limite de comparação nos diz que a série original converge ou diverge da mesma forma que a série comparativa.

Resposta

Portanto, a série
converge.

Exercícios relacionados

Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Calculai os módulos e versores dos vetores abaixo listados.
a) .
As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
d) .
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.