Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
18 sumn=1^infty arcsec n(0,5)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar um teste básico de comparação pra ver se a série converge ou diverge. A série que temos é:
18 sumn=1^infty arcsec , n(0,5)^n
Vamos precisar entender o que é a série em questão, aplicar o teste de comparação e ver se ela realmente soma pra um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. O termo geral da série é:
arcsec , n(0,5)^n = arcsec , n(12)^n = arcsec , n cdot 2^n
Então, a série fica:
18 sumn=1^infty arcsec , n cdot 2^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o teste de comparação serve pra comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Se a nossa série for maior que uma série que diverge, ela também diverge. Se for menor que uma que converge, ela converge.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de arcsec , n. A função arcsecante, arcsec , n, é o inverso da função secante e, para valores de n >= 1, ela cresce, mas de forma mais lenta comparada a funções exponenciais como 2^n.
Então, podemos dizer que para grandes n, arcsec , n se comporta de forma semelhante a uma constante ou cresce muito devagar, enquanto 2^n cresce rapidamente.

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica sumn=1^infty 2^n. Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty r^n converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1. No nosso caso, r = 2, então a série geométrica sumn=1^infty 2^n diverge.

Passo 6

Como arcsec , n cdot 2^n é maior ou igual a 2^n para todo n >= 1, e já sabemos que sumn=1^infty 2^n diverge, pela comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série 18 sumn=1^infty arcsec , n(0,5)^n diverge.

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