Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar um teste básico de comparação pra ver se a série converge ou diverge. A série que temos é:
Vamos precisar entender o que é a série em questão, aplicar o teste de comparação e ver se ela realmente soma pra um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. O termo geral da série é:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o teste de comparação serve pra comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Se a nossa série for maior que uma série que diverge, ela também diverge. Se for menor que uma que converge, ela converge.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de . A função arcsecante, , é o inverso da função secante e, para valores de , ela cresce, mas de forma mais lenta comparada a funções exponenciais como .
Então, podemos dizer que para grandes , se comporta de forma semelhante a uma constante ou cresce muito devagar, enquanto cresce rapidamente.

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série geométrica diverge.

Passo 6

Como é maior ou igual a para todo , e já sabemos que diverge, pela comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Calculai a soma para os vetores abaixo.
c) e .
Calculai a soma para os vetores abaixo.
a) e .
Calculai os módulos e versores dos vetores abaixo listados.
a) .
Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.