Use a definição de derivada para encontrar f'(x) e f''(x) para as funções:
f(x) = x^3 - 3x + 12

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo, mais especificamente sobre derivadas. A tarefa é encontrar a primeira e a segunda derivada da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto, ou seja, a taxa de variação da função. A definição de derivada é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada para a nossa função :

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão dentro do limite:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Simplificando os termos:
Podemos fatorar no numerador:
Cancelando no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite :
Então, a primeira derivada é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada de . Usando a mesma definição de derivada:
Sabemos que , então:

Passo 8

Vamos expandir e simplificar:
Então:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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