Use a definição de derivada para encontrar
e
para as funções:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo, mais especificamente sobre derivadas. A tarefa é encontrar a primeira e a segunda derivada da função
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto, ou seja, a taxa de variação da função. A definição de derivada é:
Vamos usar essa fórmula para encontrar
.
Passo 3
Vamos aplicar a definição de derivada para a nossa função
:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão dentro do limite:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Simplificando os termos:
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite
:
Então, a primeira derivada é
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada de
. Usando a mesma definição de derivada:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos expandir e simplificar:
Então:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.