Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivadas. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição da derivada como um limite. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada definida por limite e fazer alguns cálculos algébricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função no ponto :
Isso significa que a derivada de em é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação tende a zero.

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função , temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Para facilitar a resolução, vamos encontrar um denominador comum:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na definição da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Para resolver o limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz:
Simplificando o numerador:

Passo 7

Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Quando tende a 0, tende a . Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
a)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
a)
Encontre as derivadas das seguintes funções
a)
Encontre as derivadas das seguintes funções
f)