Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivadas. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição da derivada como um limite. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada definida por limite e fazer alguns cálculos algébricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função
no ponto
:
Isso significa que a derivada de
em
é o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando essa variação tende a zero.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa função
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão no numerador:
Para facilitar a resolução, vamos encontrar um denominador comum:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na definição da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Para resolver o limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz:
Simplificando o numerador:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada:
Quando
tende a 0,
tende a
. Portanto:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Use a definição de derivadas para encontrar as derivadas das funções a seguir: functions.
a)
a)
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que cada equação a seguir possui ao menos uma raiz no intervalo dado. Observe que NÃO é para encontrar a raiz ou raízes.
a)
a)
Encontre as derivadas das seguintes funções
a)
a)
Encontre as derivadas das seguintes funções
f)
f)