Use a definição de derivadas parciais como limites para achar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais como limites, que é uma maneira fundamental de entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial em relação a
, denotada por
, mede como a função muda quando apenas
varia, mantendo
constante. A definição de limite para a derivada parcial em relação a
é:
Vamos aplicar isso à nossa função
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
No numerador, usamos a identidade
:
Simplificando o numerador:
Cancelando
:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
. A definição é semelhante:
Aplicando à nossa função:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 7
Vamos racionalizar o numerador novamente:
Usando a identidade
:
Simplificando o numerador:
Cancelando
:
Passo 8
Aplicando o limite
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e