Use a definição de derivadas parciais como limites para achar f_x(x, y) e f_y(x, y). f(x, y) = raiz(3 * x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais e da função . Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais como limites, que é uma maneira fundamental de entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial em relação a , denotada por , mede como a função muda quando apenas varia, mantendo constante. A definição de limite para a derivada parcial em relação a é:
Vamos aplicar isso à nossa função .

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando dentro das raízes:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
No numerador, usamos a identidade :
Simplificando o numerador:
Cancelando :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , . A definição é semelhante:
Aplicando à nossa função:
Simplificando dentro das raízes:

Passo 7

Vamos racionalizar o numerador novamente:
Usando a identidade :
Simplificando o numerador:
Cancelando :

Passo 8

Aplicando o limite :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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