Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se as segundas derivadas mistas
e
são iguais. Isso está relacionado ao tema de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que:
Isso facilita na hora de derivar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a regra da cadeia:
Explicando: derivamos o logaritmo e depois a função interna
em relação a
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que nos dá
:
Aqui, usamos a regra do quociente para derivar em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas começando com a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Similar ao que fizemos com
.
Passo 6
E então, derivamos
em relação a
, obtendo
:
Usamos novamente a regra do quociente para essa derivada.
Resposta
Concluímos que
. Portanto, as segundas derivadas mistas são iguais.