Verifique se u_xy = u_yx u = ln(raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se as segundas derivadas mistas e são iguais. Isso está relacionado ao tema de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que:
Isso facilita na hora de derivar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia:
Explicando: derivamos o logaritmo e depois a função interna em relação a .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá :
Aqui, usamos a regra do quociente para derivar em relação a .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas começando com a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Similar ao que fizemos com .

Passo 6

E então, derivamos em relação a , obtendo :
Usamos novamente a regra do quociente para essa derivada.

Resposta

Concluímos que . Portanto, as segundas derivadas mistas são iguais.

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