Use a definição de limite para generalizar os exercícios anteriores, isto é, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para mostrar que:
Então, nosso objetivo aqui é provar que, quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
significa que, para todo número pequeno positivo
(que representa a nossa margem de erro), existe um número positivo
(que representa o quão perto
precisa estar de
) de tal forma que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
e queremos mostrar que
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso caso específico. Queremos que:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
Como
é uma constante, podemos fatorar:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar um
que relaciona
com
. A partir da última desigualdade:
Podemos isolar
:
Então, se escolhemos:
Passo 5
Com esse
, garantimos que sempre que
, teremos:
Isso satisfaz exatamente a definição de limite!
Resposta
Portanto, mostramos que: