Use a definição de limite para generalizar os exercícios anteriores, isto é, mostre que:
lim x a(m x+n)=m a+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a definição de limite para mostrar que:
lim x a(m x + n) = m a + n
Então, nosso objetivo aqui é provar que, quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
significa que, para todo número pequeno positivo (que representa a nossa margem de erro), existe um número positivo (que representa o quão perto precisa estar de ) de tal forma que, sempre que , então .
No nosso caso, e queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso caso específico. Queremos que:
| (m x + n) - (m a + n) | < varepsilon
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
| m x + n - m a - n | = | m (x - a) |
Como | m | cdot | x - a | < varepsilon é uma constante, podemos fatorar:

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar um | m | cdot | x - a | < varepsilon que relaciona | x - a | < varepsilon | m | com de. A partir da última desigualdade:
Podemos isolar :
Então, se escolhemos:

Passo 5

Com esse | (m x + n) - (m a + n) | = | m | cdot | x - a | < | m | cdot varepsilon | m | = varepsilon , garantimos que sempre que , teremos:
Isso satisfaz exatamente a definição de limite!

Resposta

Portanto, mostramos que:
lim x a(m x + n) = m a + n

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