Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros:
a) lim x -2(4 x-5)=-13

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de quando se aproxima de -2 é igual a -13. Isso envolve o estudo dos limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que basicamente diz que podemos garantir que o limite é aquele valor se conseguirmos fazer com que a função fique tão próxima quanto quisermos desse valor ao escolher suficientemente perto de -2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite:
limx to a f(x) = L
Significa que, para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e .

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que para qualquer |(4x - 5) - (-13)| = |4x - 5 + 13| = |4x + 8| , podemos encontrar um tal que, se , então .
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do módulo:

Passo 4

Queremos que |4(x + 2)| = 4|x + 2| . Vamos fatorar o 4:
4|x + 2| < epsilon implies |x + 2| < epsilon4
Então, temos:

Passo 5

Agora, para garantir que |f(x) - (-13)| = |4x - 5 + 13| = |4x + 8| = 4|x + 2| < 4 cdot epsilon4 = epsilon , podemos escolher . Assim, quando , temos:
Isso mostra que conforme a definição de limite.

Resposta

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