Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite da função quando se aproxima de 4 é igual a 0. Vamos usar a definição de limite, que é a base para provar esse tipo de questão. Precisaremos entender como funcionam os limites e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
se, para todo número positivo (por menor que seja), existe um número positivo tal que, sempre que
então
Isso significa que podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade para encontrar em termos de :
Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar :
Isso nos mostra que se fizermos , sempre que , teremos .

Passo 5

Então, escolhemos . Isso significa que para qualquer , se limitarmos a estar dentro de de 4, a função ficará dentro de de 0, comprovando que o limite é realmente 0.

Resposta

Assim, usando a definição de limite, provamos que:

Exercícios relacionados

Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros:
a)
Seja a função definida por e admitindo que
Determine o valor de para cada dado:
b)
Use a definição de limite para generalizar os exercícios anteriores, isto é, mostre que:
Calcule os limites abaixo:
a)