Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros:
b) lim x 4(12 x-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o limite da função quando se aproxima de 4 é igual a 0. Vamos usar a definição de limite, que é a base para provar esse tipo de questão. Precisaremos entender como funcionam os limites e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
limx to a f(x) = L
se, para todo número positivo 0 < |x - a| < de (por menor que seja), existe um número positivo |f(x) - L| < varepsilon tal que, sempre que
então
Isso significa que podemos fazer ficar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
  • | 12x - 2 - 0 | < varepsilon
  • | 12x - 2 | < varepsilon
Queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade para encontrar | 12x - 2 | = 12 |x - 4| < varepsilon em termos de |x - 4| < 2varepsilon :
Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar :
Isso nos mostra que se fizermos , sempre que , teremos .

Passo 5

Então, escolhemos . Isso significa que para qualquer , se limitarmos a estar dentro de de 4, a função ficará dentro de de 0, comprovando que o limite é realmente 0.

Resposta

Assim, usando a definição de limite, provamos que:
limx 4(12 x - 2) = 0

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