Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
c) f(x, y) = 6xy^3 + x^4 + 3.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que verificar se a função é homogênea. Função homogênea é um conceito da matemática que a gente usa para ver se todos os termos da função têm o mesmo grau. Se tiverem, a gente também descobre qual é esse grau. Para resolver isso, vamos analisar cada termo da função e ver o grau de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o grau de um termo. O grau de um termo é a soma dos expoentes das variáveis que aparecem nele. Por exemplo, no termo , o grau é .

Passo 3

Agora, vamos olhar cada termo da função :
  1. Termo :
    • Aqui, tem expoente 1 e tem expoente 3.
    • Então, o grau é .
  2. Termo :
    • Só temos com expoente 4.
    • Então, o grau é .
  3. Termo :
    • Esse termo não tem variáveis, então o grau é .

Passo 4

Agora que vimos os graus de cada termo:
  • tem grau 4.
  • tem grau 4.
  • tem grau 0.
Para a função ser homogênea, todos os termos precisam ter o mesmo grau.

Passo 5

No nosso caso, dois termos têm grau 4, mas o termo constante tem grau 0. Como eles não são todos do mesmo grau, a função não é homogênea.

Resposta

A função não é homogênea porque os termos têm graus diferentes.

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