Use a definição de limite para mostrar que:
d)
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite de duas variáveis aqui:
. Esse tipo de problema está na matéria de cálculo multivariável, especificamente trabalhando com limites em funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e talvez usar coordenadas polares para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para provar que o limite existe e é igual a um certo valor, temos que mostrar que independente do caminho que a gente escolha para aproximar
, o resultado será o mesmo. Uma estratégia comum é converter as coordenadas para polares, onde
e
. Isso ajuda porque, quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos substituir
e
por
e
na função:
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 4
Agora, queremos ver o que acontece quando
tende a 0. Vamos analisar o termo
. Sabemos que
e
são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. Então,
e
.
Portanto, podemos estimar o valor absoluto da expressão:
Passo 5
Agora, observamos que quando
,
. Isso significa que o valor absoluto de
pode ser tão pequeno quanto quisermos, já que está limitado por
, que vai para 0.
Segundo a definição de limite, se conseguimos fazer a express��o ser menor que qualquer
escolhendo
suficientemente pequeno, então o limite é 0.