Use a definição de produto escalar, a cdot b=|a||b| cos theta, e o fato de que a cdot b=ax bx+ay by+az bz para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por a=3,0 i+3,0 j+3,0 k e b=2,0 i+1,0 j+3,0 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A matéria que estamos trabalhando aqui é Álgebra Vetorial. Para isso, vamos usar duas fórmulas principais:
  1. Definição do produto escalar em termos do ângulo:
    a cdot b = |a| , |b| cos theta
  2. Definição do produto escalar em termos das componentes:
    a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Vamos usar essas fórmulas para encontrar o ângulo entre os vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a = 3,0 i + 3,0 j + 3,0 k usando as componentes dos vetores.
Dados:
b = 2,0 i + 1,0 j + 3,0 k
a cdot b = (3,0)(2,0) + (3,0)(1,0) + (3,0)(3,0)
Aplicando a segunda fórmula:
a cdot b = 6,0 + 3,0 + 9,0 = 18,0

Passo 3

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e |a| = raiz(3,0)^2 + (3,0)^2 + (3,0)^2 = raiz9,0 + 9,0 + 9,0 = raiz27,0 approx 5,196 .
A fórmula para o módulo de um vetor |b| = raiz(2,0)^2 + (1,0)^2 + (3,0)^2 = raiz4,0 + 1,0 + 9,0 = raiz14,0 approx 3,742 é:
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos usar a primeira fórmula para encontrar a cdot b = |a| , |b| cos theta :
18,0 = (5,196)(3,742) cos theta
Substituindo os valores que calculamos:
18,0 = 19,447 cos theta

Passo 5

Agora, vamos isolar cos theta = 18,019,447 approx 0,926 :
theta = arccos(0,926) approx 22,5^circ
Para encontrar o ângulo , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

Exercícios relacionados