Use a derivação implícita para determinar e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a equação e queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando as variáveis estão misturadas e não é fácil isolar uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma constante. Isso significa que quando derivamos em relação a , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , ou seja, . Isso é conhecido como regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito em relação a :
Aqui, usamos a derivada da função , que é , e aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada de em relação a , que é .

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, trazemos todos os termos com para um lado:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , mantendo constante.

Passo 10

Derivando o lado esquerdo em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 0, e a derivada de em relação a é .

Passo 11

Derivando o lado direito em relação a :
Usamos novamente a derivada da função e aplicamos a regra do produto na derivada de .

Passo 12

Igualando as derivadas:

Passo 13

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 14

Reagrupando os termos com :

Passo 15

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Detemine e . .
Seja . Determine: ;
Determine e .
Dona Sônia aplicou uma renda no contorno de uma toalha de mesa retangular com largura e comprimento medindo, respectivamente, e . A quantidade mínima de renda que Dona Sônia utilizou para esse trabalho foi:
e)