Use a derivação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
x-z=arctan (y z)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a equação e queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando as variáveis estão misturadas e não é fácil isolar uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma constante. Isso significa que quando derivamos em relação a , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , ou seja, . Isso é conhecido como regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo ddx(x) - ddx(z) = 1 - partial zpartial x em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito ddx ( arctan(y z) ) = 11 + (y z)^2 cdot y cdot partial zpartial x em relação a :
Aqui, usamos a derivada da função , que é , e aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada de em relação a , que é .

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
1 - partial zpartial x = y1 + (y z)^2 cdot partial zpartial x

Passo 6

Vamos resolver para 1 = partial zpartial x ( 1 + y1 + (y z)^2 ) . Primeiro, trazemos todos os termos com para um lado:

Passo 7

Isolando partial zpartial x = 11 + y1 + (y z)^2 :

Passo 8

Simplificando a expressão:
partial zpartial x = 1 + (y z)^21 + (y z)^2 + y

Passo 9

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , mantendo constante.

Passo 10

Derivando o lado esquerdo 0 - partial zpartial y = -partial zpartial y em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é 0, e a derivada de em relação a é .

Passo 11

Derivando o lado direito 11 + (y z)^2 cdot ( z + y cdot partial zpartial y ) em relação a :
Usamos novamente a derivada da função e aplicamos a regra do produto na derivada de .

Passo 12

Igualando as derivadas:
-partial zpartial y = z + y cdot partial zpartial y1 + (y z)^2

Passo 13

Multiplicando ambos os lados por -partial zpartial y cdot (1 + (y z)^2) = z + y cdot partial zpartial y para eliminar o denominador:

Passo 14

Reagrupando os termos com -partial zpartial y cdot (1 + (y z)^2) - y cdot partial zpartial y = z :
partial zpartial y cdot (-1 - (y z)^2 - y ) = z

Passo 15

Isolando partial zpartial y = z-1 - y - (y z)^2 = -z1 + y + (y z)^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 + (y z)^21 + y + (y z)^2
partial zpartial y = -z1 + y + (y z)^2

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