Use a derivação implícita para determinar
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a equação
e queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a derivação implícita, que é útil quando as variáveis estão misturadas e não é fácil isolar uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma constante. Isso significa que quando derivamos
em relação a
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é conhecido como regra da cadeia.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada da função
, que é
, e aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Passo 6
Vamos resolver para
. Primeiro, trazemos todos os termos com
para um lado:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, mantendo
constante.
Passo 10
Derivando o lado esquerdo
em relação a
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é 0, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 11
Derivando o lado direito
em relação a
:
Usamos novamente a derivada da função
e aplicamos a regra do produto na derivada de
.
Passo 12
Igualando as derivadas:
Passo 13
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 14
Reagrupando os termos com
:
Passo 15
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Detemine
e
.
.
Seja
. Determine:
;
Determine
e
.
Dona Sônia aplicou uma renda no contorno de uma toalha de mesa retangular com largura e comprimento medindo, respectivamente,
e
. A quantidade mínima de renda que Dona Sônia utilizou para esse trabalho foi:
e)
e)