Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar
usando derivação implícita. O enunciado é:
A matéria que vamos usar é derivação implícita, que é útil quando temos uma equação onde
está ligado a
de forma não explícita. Vamos precisar lembrar das derivadas de funções trigonométricas como e
, além da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos com relação a
, teremos que aplicar a regra da cadeia para os termos que envolvem
.
Derivando o lado esquerdo:
E derivando o lado direito:
Passo 3
Vamos derivar cada termo separadamente. Começando com . A derivada de é multiplicado pela derivada de
.
Então:
Aqui, derivamos
que dá
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. A derivada de
é
multiplicado pela derivada de
.
Então:
Aqui, derivamos
que dá
.
Passo 5
Agora, juntando as derivadas dos dois termos e igualando a derivada do lado direito:
Passo 6
Vamos distribuir os termos:
Passo 7
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Exercícios relacionados
Dê o domínio das funções:
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Sendo sen
e
é um arco do
quadrante, calcule
.