Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
y = raiz(x)^x

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar a derivada dela usando derivação logarítmica. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar usar logaritmos e as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Assim:

Passo 3

Agora, lembre que . Então podemos reescrever a expressão dentro do logaritmo:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , temos:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Para a parte esquerda, usamos a derivada de :
Para a parte direita, usamos a regra do produto:

Passo 6

Igualando as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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